z变换滤波器（改变滤波器的rc参数,将影响滤波器的哪些性能?）

发布时间：2023-05-17

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本文目录一览：

1、滤波器的基本概念
2、为什么z变换的分母大于零
3、数字信号处理中z变换形式的滤波器零极点与其高通低通之间的关系以及归一化频率问题
4、求解释滤波器的传递函数公式
5、怎样根据一个Z变换式子判断它的滤波器类型

滤波器的基本概念

一个原始信号通过某一装置后变为一个新信号的过程称为滤波。原始信号称为输入，新信号称为输出，该装置则叫做滤波器。从广义上讲，任何一个过程或系统都可以称为滤波好庆搜器。所谓“信号”、“装置”的概念应当广义地加以理解，可能是具体的(如电流“信号”和电感、电容、电阻等元件组成的“装置”)，也可能是抽象的(如数和数学运算)。

(一)线性时不变滤波器的响应特性和滤波机理

滤波器的种类十分繁多，地震勘探中用得最多的是线性时不变滤波器。

1.线性时不变滤波器的概念

线性滤波器的基本性质是满足叠加原理和正比定理。设不同的信号x1(t)、

x2(t)……分别输入到滤波器时的输出为y1(t)、y2(t)……现在如果输入信号为

x(t)=ax1(t)+bx2(t)+……

其中a、b……为任意常数，则输出必为

y(t)=ay1(t)+by2(t)+……

时不变性质即滤波器对输入信号的改造作用与时间无关。换言之，当输入为x(t)时滤波器的输出为y(t)，若输入为x(t-)则输出正好是y(t-)，它与时移大小无关。

2.滤波器的响应特性

从经典通讯论的观点来看，不考虑滤波器的内部结构，只从其输入、输出间关系定义出的滤波器特性称为响应函数。

时间函数之间的运算称为时间域运算。时间域中的响应函数称为脉冲响应，或称滤波器的时间函数、权函数或滤波因子。它定义为对单位脉冲δ(t)输入所得到的输出h(t)。

一个时间函数经傅里叶变换后可以得到其频谱，或称之为频率域中的函数。频率域函数之间的运算称为频率域运算。频率域中的响应函数称为频率响应函数，或称滤波器的频率特性、传递函数或转移函数。它是脉冲响应h(t)的傅里叶变换H(ω)，也可看作是输出信号的频谱与输入信号的频谱之比。一般来说它是复变函数，可以写成指数形式

地震勘探

式中:H(ω)称为滤波器的振幅特性，它影响输入信号的振幅谱，h(ω)称为滤波器的相位特性，它对输入信号的相位谱产生改造作用。

3.线性时不变滤波器的滤波机差答理

线性时不变滤波器在时间域中滤波作用的实现用输入信号x(t)与滤波器的脉冲响应h(t)的褶积运算表示

地震勘探

而在频率域中则表示为输入信号的频谱X(ω)与滤波器的传输函数H(ω)相乘

地震勘探

因此，输出信号的振幅谱和相位谱分别为

地震勘探

因为傅里叶变换是可逆的，故频率域运算与时间域运算完全等价。在两个域中表示的滤波机理归结如下

地震勘探

线性时不变滤波器的时间域滤波机理可以这样来理解:将任何输入都想象为在友历采样瞬间由函数值确定其大小的一个脉冲序列。这些脉冲的每一个均使滤波器产生相应的脉冲响应。根据线性时不变性质，输出由所有这些个别响应的叠加组成。这一点通过数值褶积的物理过程(图4-11)可以看得很清楚。

图4-11 数值褶积的物理过程

线性时不变滤波器的频率域滤波机理更为明显，即对输入信号中的不同频率成分用不同的权系数值相乘，结果组成输出信号的频谱。

利用z变换的形式表示数字滤波的作用十分方便。若输入(xi)，输出(yi)和脉冲响应(hi)及其z变换分别为

地震勘探

用z变换表示滤波过程则有从形式上看，它与频率域滤波作用一样，是乘积。从多项式相乘的运算来看，它又与时间域滤波的运算一样，是褶积运算。因此，它同时表示了两个域中的滤波作用，是一种十分方便的表达形式。

(二)滤波器的稳定性和物理可实现性

当输入信号为有限，其输出信号也为有限时，这种滤波器就是稳定的。即:若存在一个正整数L，使得输入信号x(t)满足x(t)≤L，也有一个正数M，使得输出信号y(t)满足条件y(t)≤M，则此滤波器是稳定的。

对滤波器的一个基本要求是“稳定”，不稳定的滤波器无法使用。

滤波器稳定的充要条件是

地震勘探

满足因果律(即输入之前不会产生输出)的滤波器称为物理可实现的。滤波器是物理可实现的充要条件是

h(t)=0当t0时

物理滤波器(包括电滤波器)都是物理可实现的，数字滤波器则不然。

对于z变换为多项式的滤波器来说，分析其稳定性和物理可实现性比较方便。z变换为有理分式的滤波器(例如A(z)=1/B(z))则比较复杂，只有求出其分母多项式的全部根才能作出判断，当所有的根均不在单位圆(z=1)上时，这个滤波器是稳定的:当所有的根都在单位圆外时，这个滤波器是物理可实现的。

(三)滤波器的分类

可以有多种方式对滤波器进行分类。按滤波器的性质(即响应函数)划分，可分为

1.无畸变滤波器

振幅特性为常数，相位特性是线性的滤波器为无畸变滤波器。它不改变输入信号的波形。即H(ω)=a0e-jωt0，a0，t0均为常数。故

地震勘探

2.相位畸变滤波器(纯相位滤波器，全通滤波器)

它只改变输入信号的相位谱，振幅谱形状不变。其振幅特性为常数H(ω)=a0，但相位特性不是线性的。

3.振幅畸变滤波器

这种滤波器的振幅特性H(ω)不是常数，而且实际工作中总是希望滤波时不使信号产生相位畸变或相位移。这样的滤波器叫做零相位滤波器，即

h(ω)=0，H(ω)=H(ω)

因为H(ω)=H(ω)，而H(ω)≥0，故H(ω)必为非负的实函数。又因输入、输出均为实时间函数，故h(t)也必定是实时间函数。由傅里叶变换性质可知，实时间函数的频谱具有共轭性质，即H(-ω)=H(ω)。因H(ω)本身是实函数，实函数的共轭为其自身，即H(ω)=H(ω)，故有H(-ω)=H(ω)，说明H(ω)是偶函数。因此，零相位滤波器的频率响应函数H(ω)是非负的实偶函数。

由傅里叶变换的性质可知，非负的实偶函数H(ω)所对应的时间函数h(t)必为实偶函数，即h(t)=h(-t)。因此，零相位滤波器必定为物理不可实现的滤波器。

电滤波器是物理可实现的，绝不可能成为零相位滤波器。因此，电滤波器必定会使信号发生相位畸变。这正是它的缺点之一。而数字滤波可以实现零相位滤波。

(四)子波的相位延迟

信号处理中定义具有确定的起始时间和有限能量的信号为子波。地震勘探领域中子波指的是通常由1至1个半到2个周期组成的地震信号。前已谈过，从广义上讲，任何一个过程均可称为“滤波”。地震勘探中往往将地下非完全弹性介质对震源脉冲的改造作用称为“大地滤波”，大地滤波器的脉冲响应称为“子波”或“地震子波”。由此可见，子波(特别是地震子波)的概念与滤波器的特性密切相关，有关其性质分析、分类方式等结论完全可以互相引用。

有关子波的概念有许多，如子波的能量分布、子波的逆、子波等效等，但最具重要意义的是其相位延迟性质。

在频率域中，子波b(t)可以通过傅里叶变换表示成它的振幅谱B(ω)和相位谱φ(ω)。如果采用负的相位谱ψ(ω)，则叫做相位延迟谱。即

ψ(ω)=-φ(ω)，B(ω)=B(ω)e-jψ(ω)=B(ω)ejψφ(ω)

相位延迟谱的大小代表了子波的相位延迟性质。

子波的起始时刻通常是零时刻，即子波一般是物理可实现的。特别是地震子波，作为一个物理滤波器的响应函数，自然是物理可实现的。正如前述，物理可实现的子波必定是非零相子波，必有相位延迟，但不同子波相位延迟不同。相位延迟性质对于有相同振幅谱的子波的分类具有重要意义。

在所有物理可实现的、具有相同振幅谱的子波中，总有一个子波的相位延迟谱相对于其他子波的相位延迟谱而言为最小，这个子波称为最小相位子波。同样，还有一个子波的相位延迟谱相对来说最大，称为最大相位子波。除此以外其他子波都是混合相位子波。

利用z变换可以方便地判断子波的相位延迟性质。子波(b0，b1，…，bn)的z变换是一个多项式:B(z)=b0+b1z+b2z2+…+bnzn，对此多项式求取全部零点(即根)，若全部零点均在单位圆外，则此子波为最小相位子波;若全部零点都在单位圆内，则是最大相位子波，如果零点在单位圆的内、外都有，则这个子波就是混合相位子波(图4-12)。

图4-12 z平面上零点位置指示子波延迟性质

为什么z变换的分母大于零

一、z变换

1、单位脉冲响应为蔽衫h[n]的离散时间线性时不变系统对复指数输入的响应应y[n]为

其中，

若z=，这里w为实数(即|z|=1)，则式(10.2)的求和式就是h[n]的离散时间博里叶变换。在更为一般的情况下，当|z|不限制为1的时候，式(10.2)就称为h[n]的z变换。

2、一个离散时间信号x[n]的z变换为

其中z是一个复变量。有时为了方便，也将x[n]的z变换写成Z{x[n]}，而x[n]和它的z变换之间的关系记为

3、为了说明z变换和离散时间博里叶变换之间的关系，现将复变量z表示成极坐标形式为

用r表示z的模，而用w表示它的相角。利用r和w，式(10.3)变成

或等效为

由式(10.6)可知，就是序列x[n]乘以实指数够的博里叶变换，即

指数加权可以随n增加而衰减，也可以随n增加而增长，这取决于r大于1还是小于1.特别注意到，若r=1，或等效为|z|=1，时(10.3)就变为博里叶变换，即

4、在z变换中是当变换变量z的模为1，即z=时，z变换就演变为博里叶变换。于是，博里叶变换就成为在复数z中，半径为的圆上的z变换，如图10.1所示。

在z平面上，这个圆称为单位圆。

5、为了使z变换收敛，要求x[n]的博里叶变换收敛。对于任何一个具体的序列来说，可以想到对某些r值，其博里叶变换收敛，而对另一些r值来说不收敛。一般来说，对于某一序列的z变换，存在着某一个z值得范围，对该范围内的z，X(z)收敛。这些值得范围称为收敛域。如果收敛域包括单位圆，则博里叶变换叶收敛。

1）z变换的表述即要求它的代数表示，有要求相应的收敛域。

2）、只要x[n]是实指数或复指数的线性组合，X(z)就一定是有理的。关于极点和零点，总是利用z多项式表示的分母和分子多项式的根。若分子的阶次超过分母的阶次，那么无限远点就有极点，若分子的阶次小于分母的阶次，那么无限远点就有零点。

二、z变换的收敛域

1、性质一；X(z)的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。

2、性质二；收敛域内不包含任何极点。

3、性质三；如果x[n]是有限长序列，那么收敛域就是一整个z平面，可能除去z=0和/或z=∞。

4、性质四；如果x[n]是一个右边序列，并且|z|=，的圆位于收敛域内，那么|z|的全部有限z值都一定在这个收敛域内。

5、性质五；如果x[n]是一个左边序列，并且|z|=，的圆位于收敛域内，那么0》|z|的全部有限z值都一定在这个收敛域内。

6、性质6；如果x[n]是双边序列，而且|z|=的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定是包含|z|=这一圆环的环形区域。

7、性质7；如果x[n]的z变换X(z)是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。

8、性质八；如果x[n]的z变换X(z)是有理的，并且x[n]是右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边，也就是半径等于X(x)极点中最大模值的圆的外边。而且，若x[n]是因果序列，即x[n]为n0时等于零的右边序列，那么收敛域也包括z=∞。

9、性质九；如果x[n]的z变换X(z)是有理的，并且x[n]是左边序列，那么收敛域就位于z平面内最里层宏卖腔非零极点的里边，也就是半径等于X(x)中出去z=0的极点中最小模值的圆的外边。而且，若x[n]是反因果序列，即x[n]为n0时等于零的左边序列，那么收敛域也包括z=∞。

三、z逆变换

1、z逆变换求解

式中记为半径为r，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分。r放入值可选为使X(z)收敛的任何值；也就是使|z|=r的积分围线位于收敛域内的任何值。

2、对于一个有理z变换，可以首先将其进行部分分式展开，然后逐项求其你变换。嘉定X(z)的部分分式展开式具有如下形式：

X(z)的逆变换就等于式(10.55)中每一项逆变换之和。若X(z)的收敛域位于极点z=ai的外边，那么与式(10.55)中相应项的逆变换就是另方面，如X(z)的收敛域位于极点z=ai的里边，那么对应于这一项的逆变换就是一般来说，在X(z)的部分分式展开式中，可以包括除了在式(10.55)中的配启一次项以外的其他项。

3、确定z逆变换的另一种是非有用的办法是建立在X(z)幂级数展开的基础上。这个方法直接来自z变换的定义式(10.3)，因为由这个定义可看到，实际上z变换就是涉及z的正幂和负幂的一个幂级数，这个幂级数就是序列值x[n]。

三、利用零-极点图对博里叶变换进行稽核求值

1、在离散时间情况下，利用z平面内零极点向量也能对博里叶变换进行稽核求解。在这种情况下，有理函数是在|z|=1的单位圆上进行求值，所以应该考虑从极点和零点到这一单位圆上的向量。

一）、一阶系统

一阶因果离散时间系统的单位脉冲响应具有如下一般形式

它的z变换是

若|a|1，收敛域就包括单位圆，结果h[n]的博里叶变换收敛等于H(z)。z=。因此一阶系统的频率响应是

式(10.65)的零-极点图，以及对于不同的a值的模特性和相位特性，如图10.13所示

1）、如果想要求式(10.65)的频率响应，就需以z=来完成对各z值得求值。

2）、频率响应在频率w处的的模就是向量v1的长度与向量v2的长度之比。

3）、频率响应的相位是向量v1相对于实轴的阿基哦度减去向量v2相对于实轴的角度。

4）、从该原点的零点到单位圆的向量v1长度不变且为1，因此对H()的模特性没有任何影响。而该零点对H()的相位的奉献则是该零点向量相对于实轴的角度，可以由图看到它就等于w。

二）、二阶系统

1、二阶系统的单位脉冲响应和频率响应分别由下面两式给出

和

其中0r1且0≤≤π。其z变换为

H(z)的极点位于

并且在z=0有二阶零点。H(z)的零-极点图，以及0π/2时的零-极点图和对应于不同a值的频率响应模特性和相位特性如图10.14所示

1）、频率响应的模等于向量v1模的平方除以向量v1和v2模的乘积。由于v1的长度对所有w值都是1，所以频率响应的模就等于两个极点向量v2和v3长度乘积的倒数。

2）、频率响应的相位等于向量v1相对于实轴的角度的两倍减去向量v2和v3的角度之和。

四、z变换的性质

一）、线性性质

1、若

和

则

如同所指出的，线性组合的收敛域至少是R1和R2相重合的部分。对于具有有理z变换的序列，如果的全部极点构成的(也就是说，没有零极点相消)，那么收敛域就一定是各单个收敛域的重叠部分。如果线性部分是这样来构成的，使某些零点的引入抵消掉某些极点，那么收敛域就可以增大。

二）、时移性质

1、若

且

1）、由于乘以因此若n00，将会在z=0引入极点，而这些极点可以抵消X(z)在z=0的零点。因此，虽然z=0不是X(z)的一个极点，但却可以是X(z)的一个极点。在这种情况下，X(z)的收敛域就等于X(x)的收敛域，但原点要除去。

2）、若n00，将会在z=0引入零点，它可以抵消X(z)在z=0的极点。这样当z=0不是X(z)的一个极点时，但却可以是X(z)的一个零点。在这种情况下，z=∞是X(z)的一个极点，因此X(z)的收敛域就等于X(x)的收敛域，但z=∞要除去。

三）、z域尺度变换

1、若

则

其中|z0|R代表域R的一泓尺度变化。也就是说，若z是X(z)的收敛域内的一点，那么|z0|z就在X(z/z0)的收敛域内。同样，若X(z)有一个极点(或零点)在z=a，那么X(z/z0)就有一个极点(或零点)在z=z0a。

式(10.73)的一个重要的特烈是当时，这时|z0|R=R,并且

式(10.74)的左边相应于乘以复指数序列，而右边可以看成在z平面内的旋转，也就是说，也就是说，全部零极点位置在z平面旋转一个w0的角度，如图10.15所示

四）、时间反转

1、若

则

这就是说，若z0在x[n]的z变换收敛域内，那么1/z0就在x[-n]的z变换的收敛域内。

五）、时间扩展

1、定义为

在这种情况下，若

则

六）、共轭

则

结果，若x[n]是实序列，就可由式(10.80)得到

因此，若X(z)有一个z=z0的极点(或零点)，那么就一定有一个与z0共轭成对的z=z0*的极点(或零点)。

七）、卷积性质

1、若

且

则

八）、z域微分

1、若

则

九）、初值定理

若n0时x[n]=0，则

对于一个因果序列，初值定理的一个直接结果就是：如果x[0]是有限值，那么就是有限值。结果，将X(z)表示成两个多项式之比，分子多项式的阶次不能大于分母多项式的解析；或者说，零点的个数不能多于极点的个数。

十）、性质小结

五、几个常用的z变换对

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z变换的极点位置与收敛域有何联系

信号与系统

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数字信号处理中z变换形式的滤波器零极点与其高通低通之间的关系以及归一化频率问题

在宏拿Z变换里，零点的位置表示系统的“谷”，极点的位置表示系统的“峰”，我们把有峰的地方看做信号可以通过的地方，而有谷的地方看做信号被截止的地方。并且我们选择单位圆为频域的一个周期，那么可以得出，如果无零点时，极点在虚轴左半边为高通，极点在虚轴右边为低通；如果无无极点时，而零点在虚轴左边为低通，在虚轴右边为高通；如果同时有零点和极点，以零点指向单位圆向量的模除以极点指向单位圆的模，对于一阶系统，往往极点和零点早备靠的越近，其带宽越大。

上面的系统零点为1，极点为a，蔽睁搭所以当从r=1开始时，零点到单位圆0弧度的模为零，故为高通，本题的-1a0时也是高通，只是带宽没有a0时宽。

z变换滤波器（改变滤波器的rc参数,将影响滤波器的哪些性能?）

求解释滤波器的传递函数公式

这是一个积分器，积分器是指系统的输出为输入信号的积分，在离散系统来说则是求和。

以离散圆岩信号为例，当输入为单位冲激信号时，积分器的输出为一个单位阶跃信号。阶跃信号的Z变换可以很容易计算得到，为1/(1-z-1)。很显然，这个系统只有一个零点，其值为z=0；有一个极点，其值为z=1。在零极图上可以很方便地看出，这个系统在频率为0处响应帆兄最大，随着频率逐步增加，响应逐步减小，这显然可以看做是一个低通滤波器。

其次，从直观上理解，积分器是把前面很多个输入值进行累加。在这个过程中，积分器不同输入值之间的一些比较大的抖动被钝化了,也即是说变化比较大的抖动被平均掉橘轿御了，也即是相当于高频部分被抑制了，这正好就是低通滤波器的功能。